Question

如圖，已知△P₁OP₂的面積為，P為線段P₁P₂的一個三等分點，求以直線OP₁、OP₂為漸近線且過點P的離心率為的雙曲線方程.

Answer 1

雙曲線方程為=1

以O為原點，∠P₁OP₂的角平分線為x軸建立如圖的直角坐標系.
設雙曲線方程為=1(a＞0,b＞0)
由e²=，得.
∴兩漸近線OP₁、OP₂方程分別為y=x和y=－x
設點P₁(x₁,x₁),P₂(x₂,－x₂)(x₁＞0,x₂＞0),則由點P分所成的比λ==2,得P點坐標為(),又點P在雙曲線=1上，所以=1,
即(x₁+2x₂)²－(x₁－2x₂)²=9a²,整理得8x₁x₂=9a²         ①

即x₁x₂=                        ②
由①、②得a²=4,b²=9
故雙曲線方程為=1.