Question

【題目】有4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒子內．
（1）共有幾種放法？
（2）恰有1個空盒，有幾種放法？
（3）恰有2個盒子不放球，有幾種放法？

Answer 1

【答案】
（1）解：根據題意，4個不同的球，4個不同的盒子，

每個小球有4種放法，則4個小球共有4×4×4×4=44=256種放法

（2）解：根據題意，恰有1個空盒，即將4個小球放入3個小盒中，且三個盒子都不空；

先從4個小球中取2個放在一起，有 =6種不同的取法，

再把取出的兩個小球與另外2個小球看作三堆，并分別放入4個盒子中的3個盒子里，有 =24種不同的放法．

根據分步乘法計數原理，不同的放法共有6×24=144種

（3）解：根據題意，恰有2個盒子不放球，也就是把4個不同的小球只放入2個盒子中，

有兩類放法；第一類，1個盒子放3個小球，1個盒子放1個小球，

先把小球分成2組，有C43=4種分組方法，

再放到2個盒中有A42=12種放法，

則此時有4×12=48種放法；

第二類，2個盒子中各放2個小球，

先把小球分成2組，有 =3種分組方法，

再放到2個盒中有A42=12種放法，

則此時有3×12=36種放法；

故恰有2個盒子不放球的方法共有48+36=84種

【解析】（1）根據題意，分析可得4個不同的球，每個小球有4種放法，由分步計數原理計算可得答案；（2）根據題意，恰有1個空盒，即將4個小球放入3個小盒中，且三個盒子都不空；分2步進行分析：先從4個小球中取2個放在一起，看成一個整體，再將其與另外2個小球看作三堆，并分別放入4個盒子中的3個盒子里，分別求出每一步的情況數目，由分步計數原理計算可得答案；（3）根據題意，分2種情況討論：①、1個盒子放3個小球，1個盒子放1個小球，②2個盒子中各放2個小球，每種情況下先分組，放進其中2個盒子中，由分步計數原理可得每種情況下的放法數目，由分類計數原理計算可得答案．