Question

已知m=(

3

2

cosx，1+cosx)，n=(2sinx，1-cosx)，x∈R，函數(shù)f（x）=

m

•

n

．
（I）求f（

π

3

）的值；   
（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅲ）求f（x）在區(qū)間[0，

5π

12

]上的最值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，結(jié)合三角函數(shù)的降次公式和輔助角公式，得f（x）=

m

•

n

=

3

2

sin2x+

1-cos2x

2

=sin（2x-

π

6

）+

1

2

，代入x=

π

3

即可得到f（

π

3

）的值；
（II）根據(jù)函數(shù)y=sinx的單調(diào)區(qū)間的公式，令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，解得-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（III）根據(jù)x∈[0，

5π

12

]，可以計算出2x-

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可得0≤sin（2x-

π

6

）+

1

2

≤

3

2

，由此可得f（x）在區(qū)間[0，

5π

12

]上的最值小值和最大值．

解答：解：（I）根據(jù)題意，得f（x）=

m

•

n

=

3

2

cosx•2sinx+（1+cosx）（1-cosx）
=

3

2

sin2x+1-cos²x=

3

2

sin2x+

1-cos2x

2

=sin（2x-

π

6

）+

1

2

∴f（

π

3

）=sin（

2π

3

-

π

6

）+

1

2

=1+

1

2

=

3

2

（II）令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，（其中k是整數(shù)）
可得-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ）．（k∈Z）
（III）∵x∈[0，

5π

12

]
∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，可得-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1
因此0≤sin（2x-

π

6

）+

1

2

≤

3

2

，f（x）在區(qū)間[0，

5π

12

]上的最值小值為0，最大值為

3

2

點評：本題以向量的數(shù)量積為載體，要求對三角函數(shù)式進(jìn)行化簡，并求函數(shù)的值域與最值，著重考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的知識點，屬于中檔題．