Question

已知過拋物線x²=4y的焦點，斜率為k（k＞0）的直線l交拋物線于A（x₁，y₂），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）兩點，且|AB|=8．
（1）求直線l的方程；
（2）若點C（x₃，y₃）是拋物線弧AB上的一點，求△ABC面積的最大值，并求出點C的坐標．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的方程即可得出焦點坐標，可設直線AB的方程y=kx+1，與拋物線方程聯立得到根與系數的關系、利用拋物線的定義可得弦長公式，即可得出k．
（2）設與直線l平行的直線方程為y=x+m，由題意可知當該直線與拋物線相切時，該切點到直線l的距離最大，利用導數即可得出切點坐標，進而得到三角形的面積．

解答：解：（1）拋物線x²=4y的焦點（0，1），
設直線AB的方程是y=kx+1，
聯立

y=kx+1 x2=4y

，整理得x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，
由拋物線定義得：|AB|=y₁+y₂+2=k（x₁+x₂）+4=8，
∴k²=1，k=±1．
∵k＞0，∴k=1，直線方程為：y=x+1．
（2）設與直線l平行的直線方程為y=x+m，
由題意可知當該直線與拋物線相切時，該切點到直線l的距離最大，
y′=

1

2

x，令

1

2

x=1，解得x=2．
∴點C（2，1），點C到直線AB距離d=

2

，
(S△ABC)max=

1

2

•

2

•8=4

2

．

點評：熟練掌握拋物線的定義、標準方程及其性質、直線與拋物線的位置關系轉化為方程聯立得到根與系數的關系、弦長公式等是解題的關鍵．