Question

（本小題滿分12分）

已知數列{an}的各項均為正數，Sn為其前n項和；且Sn = 2 an -2（n∈N*）；

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）設數列{bn}的前n項和為Tn，且bn= （n∈N*）；

求證：對于任意的正整數n，總有Tn ＜2；

（3）在正數數列{cn}中，設 (cn) n+1 = an+1（n∈N*）；求數列{cn}中的最大項。

 

Answer 1

【答案】

（1）因為Sn=2an-2（n∈N*），所以Sn-1=2an-1-2（n≥2，n∈N*）。

二式相減得：an=2 an-2an-1（n≥2，n∈N*），

因為an≠0，所以=2（n≥2，n∈N*），

即數列{ an}是等比數列，

又因為a1=S1，所以a1=2 a1-2，即a1=2，所以an=2n（n∈N*）（4分）

（2）證明：對于任意的正整數n，總有bn==，

所以當n≥2時，Tn=++……+≤1+++……+=1+1-+-+……+-=2-＜2；

當n=1時，T1=1＜2仍成立；

所以，對于任意的正整數n，總有Tn ＜2。（8分）

（3）解：由(cn)n+1=an+1=n+1（n∈N*）

知：lncn=。令f（x）=，

則f′（x）=，因為在區間（0，e）上，f′（x）＞0，在區間（e，+∞）上，f′（x）＜0，

所以在區間（e，+∞）上f（x）為單調遞減函數，所以n≥3且n∈N*時，{lncn}是遞減數列，

又lnc1＜ lnc2  lnc3＜ lnc2，

所以，數列{lncn}中的最大項為lnc2=ln3，所以{cn}中的最大項為c2=。（12分）

 

【解析】略