Question

已知函數f（x）=ln

x+1

x-1

．
（1）求函數的定義域；   
（2）討論f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（1）直接由對數式的真數大于0，求解分式不等式得函數的定義域；
（2）由函數單調性的定義證明函數在（1，+∞）上的單調性，然后結合奇函數在對稱區間上的單調性得函數在（-∞，-1）上的單調性．

解答：解：（1）由

x+1

x-1

＞0，得（x+1）（x-1）＞0，
解得：x＜-1或x＞1．
∴函數f（x）=ln

x+1

x-1

的定義域為{x|x＜-1或x＞1}；
（2）設任意x₁＞x₂＞1，
f(x1)-f(x2)=ln

x1+1

x1-1

-ln

x2+1

x2-1

=ln(

x1+1

x1-1

•

x2-1

x2+1

)=ln

(x1x2-1)+x2-x1

(x1x2-1)+x1-x2

．
∵x₁＞x₂＞1，
∴x₁x₂-1+x₁-x₂＞x₁x₂-1+x₂-x₁＞0，
∴0＜

(x1x2-1)+x2-x1

(x1x2-1)+x1-x2

＜1，
則f(x1)-f(x2)=ln

(x1x2-1)+x2-x1

(x1x2-1)+x1-x2

＜0．
∴f（x₁）＜f（x₂）．
故f（x）=ln

x+1

x-1

在（1，+∞）上為減函數；
又f（-x）=ln

-x+1

-x-1

=ln

x-1

x+1

=-ln

x+1

x-1

=-f（x）．
∴f（x）為奇函數．
則f（x）在（-∞，-1）上為減函數．
綜上，函數f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上為減函數．

點評：本題考查了對數函數定義域的求法，訓練了函數單調性的判斷方法，考查了奇函數在對稱區間上的單調性，是中檔題．