Question

【題目】已知橢圓的上頂點為，以為圓心橢圓的長半軸為半徑的圓與軸的交點分別為，．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設不經過點的直線與橢圓交于，兩點，且，試探究直線是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標，若不過定點，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）

（2）直線過定點，該定點的坐標為

【解析】

利用橢圓性質，求橢圓的方程；根據題中要求，先將直線QA,PA方程設出來，再與橢圓聯立方程，分別求出Q,P兩點坐標，根據P,Q寫出直線方程l,然后分析它的定點問題

解：（1）依題意知點的坐標為，則以點圓心，以為半徑的圓的方程為令得，由圓與軸的交點分別為，，

可得，解得，故所求橢圓的標準方程為．

（2）由得，可知的斜率存在且不為．

設直線①，則②．

將①代入橢圓方程并整理，得，可得，則

同理，可得，．

由直線方程的兩點式，得直線的方程為，即直線過定點，該定點的坐標為．