Question

已知函數f(x)=

x2

x+a

(a∈R)，（1）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；（2）當a=-1時，討論函數f（x）在區間（1，+∞）上的單調性．

Answer 1

分析：（1）要判斷函數的奇偶性，只要檢驗f（-x）與f（x）的關系，由于f(-x)=

x2

a-x

，f(x)=

x2

a+x

，故需考慮a是否為0，從而要對①a=0②a≠0兩種情況進行判斷
（2）當a=-1時，f(x)=

x2

x-1

，要判斷函數f（x）在區間（1，+∞）上的單調性，只要設x₁＜x₂∈（1，+∞），然后通過判斷f（x₁）-f（x₂）=

x12

x1-1

-

x22

x2-1

的正負可得斷f（x₁）與f（x₂）的大小即可

解答：解：（1）當a=0時，f(x)=

x2

x

，x≠0，f（-x）=-f（x）成立，所以f（x）是奇函數
當a≠0時，f(-1)=

1

a-1

，f（1）=

1

1+a

，這時f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1）
所以f（x）不滿足f（x）=f（-x）及f（x）=-f（-x）對任意的x都成立，故函數是非奇非偶數
綜上可得，當a=0時，函數為奇函數
當a≠0時，函數為非奇非偶數                                                  
（2）當a=-1時，f(x)=

x2

x-1

設x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

x12

x1-1

-

x22

x2-1

=

x12x2 -x12-x1x22+x22

(x1-1)(x2-1)

=

x1x2(x1-x2)-(x1+x2)(x1-x2)

(x1-1)(x2-1)

=

(x1-x2)[x1x2-(x1+x2)]

(x1-1)(x2-1)

 
當x₁＜x₂∈（1，2]時，0＜x₁-1＜x₂-1≤1
則

x1-x2

(x1-1)(x2-1)

＜0，x₁x₂-（x₁+x₂）=（x₁-1）（x₂-1）-1＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
所以f（x）是區間（1，2]的單調遞減函數． 
當x₁＜x₂∈（2，+∞）時，同理可證函數f（x）單調遞增
故函數f（x）是區間[1，2]的單調遞減函數，在（2，+∞）上單調遞增

點評：本題主要考察了函數的奇偶性及函數的單調性的定義的 應用，屬于基本方法的考察，解題的難點在于單調性的判斷中的變形定號時的計算．