Question

如圖，M是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱DD₁的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題：
①過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB、B₁C₁都相交
②過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB、B₁C₁都垂直
③過(guò)M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB、B₁C₁都相交
④過(guò)M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB、B₁C₁都平行
其中真命題的個(gè)數(shù)是（　　）

Answer 1

分析：對(duì)于①，點(diǎn)M不在這兩異面直線中的任何一條上，所以，過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB、B₁C₁都相交，①正確．
②過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB、B₁C₁都垂直，正確．
③過(guò)M點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)平面與直線AB、B₁C₁都相交，③不正確．
④過(guò)M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB、B₁C₁都平行，正確．

解答：解：直線AB與B₁C₁ 是兩條互相垂直的異面直線，點(diǎn)M不在這兩異面直線中的任何一條上，如圖所示：
取C₁C的中點(diǎn)N，則MN∥AB，且 MN=AB，設(shè)BN 與B₁C₁交于H，則點(diǎn) A、B、M、N、H 共面，
直線HM必與AB直線相交于某點(diǎn)O．
所以，過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線HO與直線AB、B₁C₁都相交；故①正確．
過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB、B₁C₁都垂直，此垂線就是棱DD₁，故②正確．
過(guò)M點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)平面與直線AB、B₁C₁都相交，故 ③不正確．
過(guò)M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB、B₁C₁都平行，此平面就是過(guò)M點(diǎn)與正方體的上下底都平行的平面，故④正確．
綜上，①②④正確，③不正確，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了異面直線的概念與性質(zhì)，為多選題，必須逐個(gè)判斷．