Question

（2013•東坡區一模）若對于定義在R上的函數f（x），其圖象是連續不斷的，且存在常數λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0對任意實數x都成立，則稱f（x） 是一個“λ-伴隨函數”．有下列關于“λ-伴隨函數”的結論：
①f（x）=0 是常數函數中唯一個“λ-伴隨函數”；
②f（x）=x不是“λ-伴隨函數”；
③f（x）=x²是一個“λ-伴隨函數”； 
④“

1

2

-伴隨函數”至少有一個零點．
其中不正確的序號是

①③

（填上所有不正確的結論序號）．

Answer 1

分析：①設f（x）=C是一個“λ-伴隨函數”，則（1+λ）C=0，當λ=-1時，可以取遍實數集，因此f（x）=0不是唯一一個常值“λ-伴隨函數”；
②根據f（x）=x，可得f（x+λ）+λf（x）=x+λ+λx，故不存在常數λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0對任意實數x都成立；
③用反證法，假設f（x）=x²是一個“λ-伴隨函數”，則（x+λ）²+λx²=0，從而有λ+1=2λ=λ²=0，此式無解；
④令x=0，可得f（

1

2

）=-

1

2

f（0），若f（0）=0，顯然f（x）=0有實數根；若f（0）≠0，f（

1

2

）•f（0）=-

1

2

（f（0））²＜0，由此可得結論．

解答：解：①設f（x）=C是一個“λ-伴隨函數”，則（1+λ）C=0，當λ=-1時，可以取遍實數集，因此f（x）=0不是唯一一個常值“λ-伴隨函數”，故①不正確；
②∵f（x）=x，∴f（x+λ）+λf（x）=x+λ+λx，當λ=-1時，f（x+λ）+λf（x）=-1≠0；λ≠-1時，f（x+λ）+λf（x）=0有唯一解，∴不存在常數λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0對任意實數x都成立，∴（x）=x不是“λ-伴隨函數”，故②正確；
③用反證法，假設f（x）=x²是一個“λ-伴隨函數”，則（x+λ）²+λx²=0，即（1+λ）x²+2λx+λ²=0對任意實數x成立，所以λ+1=2λ=λ²=0，而此式無解，所以f（x）=x²不是一個“λ-伴隨函數”，故③不正確；
④令x=0，得f（

1

2

）+

1

2

f（0）=0，所以f（

1

2

）=-

1

2

f（0）
若f（0）=0，顯然f（x）=0有實數根；若f（0）≠0，f（

1

2

）•f（0）=-

1

2

（f（0））²＜0．
又因為f（x）的函數圖象是連續不斷，所以f（x）在（0，

1

2

）上必有實數根．因此任意的“

1

2

-伴隨函數”必有根，即任意“

1

2

-伴隨函數”至少有一個零點，故④正確
故答案為：①③

點評：本題考查的知識點是函數的概念及構成要素，函數的零點，正確理解f（x）是λ-伴隨函數的定義，是解答本題的關鍵．