Question

關于函數f(x)=cos2x-2

3

sinxcosx，下列命題：
①若存在x₁，x₂有x₁-x₂=π時，f（x₁）=f（x₂）成立；   
②f（x）在區間[-

π

6

，

π

3

]上是單調遞增；    
③函數f（x）的圖象關于點(

π

12

，0)成中心對稱圖象；   
④將函數f（x）的圖象向左平移

5π

12

個單位后將與y=2sin2x的圖象重合．
其中正確的命題序號

①③

（注：把你認為正確的序號都填上）

Answer 1

分析：根據二倍角公式，可化簡函數的解析式為正弦型函數的形式，根據函數的周期性可判斷①；根據函數的單調性可判斷②；根據函數的對稱性可判斷③；根據函數圖象的變換法則可判斷④．

解答：解：函數f(x)=cos2x-2

3

sinxcosx=cos2x-

3

sin2x=2sin（2x+

5π

6

）
由ω=2，故函數的周期為π，故x₁-x₂=π時，f（x₁）=f（x₂）成立，故①正確；
由2x+

5π

6

∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]得，x∈[-

2π

3

+kπ，-

π

6

+2kπ]（k∈Z），故[-

2π

3

，-

π

6

]是函數的單調增區間，區間[-

π

6

，

π

3

]應為函數的單調減區間，故②錯誤；
當x=

π

12

時，f（x）=0，故點(

π

12

，0)是函數圖象的對稱中心，故③正確；
函數f（x）的圖象向左平移

5π

12

個單位后得到函數的解析式為f（x）=2sin[2（x+

5π

12

）+

5π

6

]=2sin（2x+

5π

3

），故④錯誤
故答案為：①③

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了三角函數的圖象和性質，熟練掌握三角函數的圖象和性質是解答的關鍵．