Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB的中點．
（1）求證：EC∥平面PAD
（2）求證：平面EAC⊥平面PBC．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）取線段AB的中點F，連接EF，CF，證明四邊形ADCF是平行四邊形，進而證明面CFE∥面PAD，即可證明EC∥平面PAD；
（2）由題意可得AC⊥PC，由AC²+BC²=AB²，可求得AC⊥BC，從而有AC⊥平面PBC，利用面面垂直的判定定理即可證得平面EAC⊥平面PBC

解答： 證明：（1）取線段AB的中點F，連接EF，CF．則AF=CD，AF∥CD，
所以四邊形ADCF是平行四邊形，
則CF∥AD；
又EF∥AP且CF∩EF=F，
∴面CFE∥面PAD，
又EC?面CEF，
∴EC∥平面PAD；
（2）∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC，
∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=

2

，
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，
∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．

點評：本題考查線面平行、面面垂直，解題的關鍵是掌握線面平行、面面垂直的判定，屬于中檔題．