【題目】如圖1，平面四邊形
中，
為
上一點，
和
均為等邊三角形，
分別是
和
的中點，將四邊形沿向上翻折至四邊形
的位置，使二面角
為直二面角，如圖2所示.
（1）求證：
平面
；
（2）求平面
與平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）推導出
，
，從而直線
平面
，進而直線
平面，同理可證直線平面
，由此能證明平面
平面，從而有
平面
；（2）以
為坐標原點，
，
，
所在直線分別為
，
，
軸，建立空間直角坐標系
，利用向量法能求出平面
與平面
所成角的正弦值．
（1）在等邊△
和
中，，，
，
所以直線平面，即直線平面，
同理可證直線平面，
故平面平面，
又
平面
，從而有平面．
（2）如圖，以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸，
建立空間直角坐標系，
，0，
，
，1，，
，
，
，
，，
，
．
，
，
，
，，，
，
，，
，，
，
設平面的一個法向量為
，，
，
由
，得
，令
，得
，
所以平面的一個法向量為
，
同理，設平面的一個法向量為
，
由
，得
，
令，得
，所以平面的一個法向量為
，
，
．
從而
，
故平面與平面所成角的正弦值為
．
導學全程練創優訓練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司A產品生產的投入成本x（單位：萬元）與產品銷售收入y（單位：十萬元）存在較好的線性關系，下表記錄了該公司最近8次該產品的相關數據，且根據這8組數據計算得到y關于x的線性回歸方程為
．
x（萬元） | 6 | 7 | 8 | 11 | 12 | 14 | 17 | 21 |
y（十萬元） | 1.2 | 1.5 | 1.7 | 2 | 2.2 | 2.4 | 2.6 | 2.9 |
（1）求
的值（結果精確到0.0001），并估計公司A產品投入成本30萬元后產品的銷售收入（單位：十萬元）．
（2）該公司B產品生產的投入成本u（單位：萬元）與產品銷售收入v（單位：十萬元）也存在較好的線性關系，且v關于u的線性回歸方程為
．
（i）估計該公司B產品投入成本30萬元后的毛利率（毛利率
）；
（ii）判斷該公司A，B兩個產品都投入成本30萬元后，哪個產品的毛利率更大．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）＝2cosxsin（x+2φ）為偶函數，其中φ∈（0，
），則下列關于函數g（x）＝sin（2x+φ）的描述正確的是（ ）
A.g（x）在區間[
]上的最小值為﹣1
B.g（x）的圖象可由函數f（x）的圖象向上平移一個單位，再向右平移
個單位長度得到
C.g（x）的圖象的一個對稱中心為（
，0）
D.g（x）的一個單調遞增區間為[0，]
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在四棱錐
中，底面
是正方形，
底面，
，
、
、
分別是棱
、
、
的中點，對于平面
截四棱錐所得的截面多邊形，有以下三個結論：
①截面的面積等于
；
②截面是一個五邊形；
③截面只與四棱錐四條側棱中的三條相交．
其中，所有正確結論的序號是______．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
，過點
且不過點
的直線與橢圓
交于
，
兩點，直線
與直線
交于點
．
（Ⅰ）若
垂直于
軸，求直線
的斜率；
（Ⅱ）試判斷直線與直線
的位置關系，并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為調查某校學生每周體育鍛煉落實的情況，采用分層抽樣的方法，收集100位學生每周平均鍛煉時間的樣本數據(單位:
).根據這100個樣本數據，制作出學生每周平均鍛煉時間的頻率分布直方圖(如圖所示).
（Ⅰ）估計這100名學生每周平均鍛煉時間的平均數
和樣本方差
(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)；
（Ⅱ）由頻率分布直方圖知，該校學生每周平均鍛煉時間
近似服從正態分布
，其中
近似為樣本平均數，
近似為樣本方差.
（i）求
；
（ii）若該校共有5000名學生，記每周平均鍛煉時間在區間
的人數為
，試求
.
附：
，若~，
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知曲線
的參數方程為：
（
為參數），
的參數方程為：
（
為參數）.
（1）化、的參數方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
（2）若直線
的極坐標方程為：
，曲線上的點
對應的參數
，曲線上的點
對應的參數
，求
的中點
到直線的距離.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
．
（Ⅰ）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；
（Ⅱ）設
為曲線上的點，
，垂足為
，若
的最小值為
，求
的值．
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