Question

已知函數f（x）=x²+bx+c（其中b，c為實常數）．
（Ⅰ）若b＞2，且y=f（sinx）（x∈R）的最大值為5，最小值為-1，求函數y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在這樣的函數y=f（x），使得{y|y=x²+bx+c，-1≤x≤0}=[-1，0]？若存在，求出函數y=f（x）的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）問題轉化為二次函數y=x²+bx+c在給定區間[-1，1]上的最值問題，即要判斷函數在[-1，1]上的單調性，繼而得到函數y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）問題轉化為二次函數y=x²+bx+c的定義域與值域為[-1，0]，通過對參數b分類討論，得到關于b與c的關系式，繼而得到函數y=f（x）的解析式．

解答：解：（Ⅰ）由條件知f（x）=x²+bx+c，x∈[-1，1]的最大值為5，最小值為-1
而b＞2，則對稱軸x=-

b

2

＜-1，
則

f(-1)=-1 f(1)=5

，即

c-b+1=-1 b+c+1=5

，解得

c=1 b=3

則f（x）=x²+3x+1．
（Ⅱ）①若b≥2，則x=-

b

2

≤-1，
則

c-b+1=-1 c=0

，解得

c=0 b=2

，此時f（x）=x²+2x
②若b≤0，則x=-

b

2

≥0，
則

c-b+1=0 c=-1

，解得

c=-1 b=0

，此時f（x）=x²-1
③若0＜b≤1，則x=-

b

2

∈[-

1

2

，0)，
則

c-b+1=0 c- b2 4 =-1

，解得

c=-1 b=0

（舍）或

c=3 b=4

（舍），
此時不存在函數f（x）
④若1＜b＜2，則x=-

b

2

∈(-1，-

1

2

)，
則

c=0 c- b2 4 =-1

，解得

c=0 b=2

（舍）或

c=0 b=-2

（舍），
此時不存在函數f（x）
綜上所述存在函數f（x）=x²-1和f（x）=x²+2x滿足條件．

點評：本題以二次函數為載體，考查函數與方程的綜合運用，考查二次函數解析式的常用解法及分類討論，轉化思想，充分利用二次函數的性質是解題的關鍵