Question

【題目】統(tǒng)計(jì)學(xué)中將個數(shù)的和記作

（1）設(shè)，求；

（2）是否存在互不相等的非負(fù)整數(shù)，,使得成立，若存在，請寫出推理的過程；若不存在請證明；

（3）設(shè)是不同的正實(shí)數(shù)，，對任意的，都有，判斷是否為一個等比數(shù)列，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）79；（2）不存在，證明詳見解析；（3）是等比數(shù)列，理由詳見解析.

【解析】

（1）代值計(jì)算結(jié)果．（2）距離2019最近的2的冪次為，而2019小于2048，所以，但是2048和2019的差不大，所以可以研究他們的差如何表示．（3）利用數(shù)學(xué)歸納法證明.

（1）因?yàn)?/span>，所以

所以

（2）因?yàn)?/span>，

又，所以中最大可能是10，

因?yàn)?/span>，

所以

又，

所以必有·

又因?yàn)?/span>，所以

所以必然存在某幾項(xiàng)，其中，

只有，

所以存在這樣互不相等的非負(fù)整數(shù)，，

使得成立。

（3）數(shù)學(xué)歸納法證明：

當(dāng)，代入，

化簡得所以成等比數(shù)列

假設(shè)當(dāng)時成等比數(shù)列，是不同的正實(shí)數(shù)

記，設(shè)

化簡整理得：

去分母同乘以得

整理

因?yàn)?/span>

得，從而，

所以時是等比數(shù)列