Question

【題目】如圖，在三棱柱中，，，，在底面的射影為的中點，是的中點.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）設為的中點，連接，依題意有，，故平面.根據分析有，故平面；（2）以的中點為原點，分別以射線為軸的正半軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求得余弦值為.

試題解析：

（1）設為的中點，連接.由題意得：平面，所以.

因為，所以，，故平面.

由分別為的中點，得且，

從而且，所以為平行四邊形，故，

又因為平面，所以平面.

（2）方法一：作，且，連結.

由，，得，

由，，得與全等.

由，得，因此為二面角的平面角.

由，，，得，，

由余弦定理得.

方法二：

以的中點為原點，分別以射線為軸的正半軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，

由題意知各點坐標如下：

，

因此，，，

設平面的法向量為，平面的法向量為，

由，即，可取.

由，即，可取，

于是.

由題意可知，所求二面角的平面角是鈍角，故二面角的平面角的余弦值為.