Question

(本題滿分14分)

在三棱錐中,是邊長為的正三角形,平面平面,

,、分別為、的中點.

   ⑴證明：；

   ⑵(理)求二面角的正切值；

   ⑶求點到平面的距離.

Answer 1

解：

解法：⑴取中點,連結、.

∵,∴,,

∴平面,又平面,∴.       ……4分

   ⑵∵平面,平面,∴平面平面.

過作于,則平面,

過作于,連結,則,為二面角的平面角.

∵平面平面,,∴平面.

又平面,∴.∵,

∴,且.

在正中,由平幾知識可求得,

在中,

∴二面角的正切值為.   ……8分

  ⑶在中,,∴,.

設點到平面的距離為,

∵,平面,∴,

∴.即點到平面的距離為.  ……14分

解法：⑴取中點,連結、.∵,,

∴,.∵平面平面,

平面平面,∴平面,∴.

如圖所示建立空間直角坐標系,則,,

,,∴,,

∵,∴.   ……6分

  ⑵∵,,又,∴,.

設為平面的一個法向量,則,

取,,,∴.又為平面的一個法向量,

∴,得

∴.即二面角的正切值為.      ……10分

   ⑶由⑴⑵得,又為平面的一個法向量,,

∴點到平面的距離.……14分