Question

已知二次函數，，的最小值為．
⑴求函數的解析式；
⑵設，若在上是減函數，求實數的取值范圍；
⑶設函數，若此函數在定義域范圍內不存在零點，求實數的取值范圍.[

Answer 1

（1）；（2）；（3）。

解析試題分析：(1)由可設，再由的最小值求a的值；（2）首先對
二次項系數分、、三種情況討論，然后確定對稱軸與給定區間
端點的關系；（3）要滿足題意，須有有解，且無解.然后求
的最小值，令，但不屬于的值域，即可得實數的取值范圍。
⑴ 由題意設，
∵的最小值為， ∴，且， ∴ ，
∴ .
⑵ ∵，
①當時，在[-1, 1]上是減函數，∴ 符合題意.
② 當時，對稱軸方程為：，
ⅰ）當，即 時，拋物線開口向上，
由，  得  ， ∴；
ⅱ）當， 即時，拋物線開口向下，
由，得 ， ∴.
綜上知，實數的取值范圍為.
⑶法一：∵ 函數在定義域內不存在零點，必須且只須有
有解，且無解.
∴，且不屬于的值域，
又∵，
∴的最小值為，的值域為，
∴，且
∴的取值范圍為.
法二：，令，
必有，得，
因為函數在定義域內不存在零點，，
得，即，又（否則函數定義域為空集，不是函數），
的取值范圍是。
考點：（1）待定系數法求函數的解析式；（2）二次項系數及二次函數對稱軸與給定區間引起的分類討論；（3）構造函數研究函數的零點個數。