Question

如圖所示，已知圓O：x²+y²=4，直線m：kx-y+1=0．
（1）求證：直線m與圓O有兩個相異交點；
（2）設直線m與圓O的兩個交點為A、B，求△AOB面積S的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據該直線恒過點（0，1），而（0，1）在圓O：x²+y²=4內部，可得直線m與圓O有兩個相異交點．
（2）求出圓心O到直線m的距離為 d、弦長AB的值，計算△AOB面積S=

1

2

|AB|×d=

-(d2-2)2+4

，根據d的范圍根據函數的單調性求得面積的最大值．

解答：解析　（1）證明　直線m：kx-y+1=0可化為y-1=kx，
故該直線恒過點（0，1），而（0，1）在圓O：x²+y²=4內部，
所以直線m與圓O恒有兩個不同交點．
（2）圓心O到直線m的距離為 d=

1

1+k2

，而圓O的半徑r=2，
故弦AB的長為|AB|=2

r2-d2

=2

4-d2

，
故△AOB面積S=

1

2

|AB|×d=

1

2

×2

4-d2

×d=

4d2-d4

=

-(d2-2)2+4

．
而d²=

1

1+k2

，因為1+k²≥1，所以d²=

1

1+k2

∈（0，1]，
顯然當d²∈（0，1]時，S單調遞增，所以當d²=1，即k=0時，S取得最大值

3

，
此時直線m的方程為y-1=0．

點評：本題主要考查直線過定點問題，直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，利用函數的單調性求函數的值域，屬于中檔題．