Question

已知數列{x_n}滿足x₁=，x_n+1=，n∈N^*．
（1）猜想數列{x_2n}的單調性，并證明你的結論；
（2）證明：|x_n+1-x_n|≤（）^n-1．
（文）已知數列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，a_n+2=，n∈N^*．
（1）令b_n=a_n+1-a_n，證明：{b_n}是等比數列；
（2）求{a_n}的通項公式．

Answer 1

解：（理）（1）由x₁=及x_n+1=
得x₂=，x₄=，x₆=．
由x₂＞x₄＞x₆猜想，數列{x_2n}是遞減數列．
下面用數學歸納法證明：
①當n=1時，已證命題成立．
②假設當n=k時命題成立，即x_2k＞x_2k+2，
易知x_n＞0，那么x_2k+2-x_2k+4=
=
=＞0，
即x_2（k+1）＞x_2（k+1）+2，
也就是說，當n=k+1時命題也成立．結合①和②知，命題成立．
（2）當n=1時，|x_n+1-x_n|=|x₂-x₁|=，結論成立；
當n≥2時，易知0＜x_n-1＜1，
∴1+x_n-1＜2，x_n=＞，
∴（1+x_n）（1+x_n-1）
=（1+）（1+x_n-1）
=2+x_n-1≥，
∴|x_n+1-x_n|=||
=
≤|x_n-x_n-1|
≤（）²|x_n-1-x_n-2|
≤…≤（）^n-1|x₂-x₁|=（）^n-1．
（文）（1）b₁=a₂-a₁=1，
當n≥2時，b_n=a_n+1-a_n=-a_n=-（a_n-a_n-1）=-b_n-1，
∴{b_n}是以1為首項，-為公比的等比數列．
（2）由（1）知b_n=a_n+1-a_n=（-）^n-1，
當n≥2時，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+1+（-）+…+（-）^n-2
=1+
=1+[1-（-）^n-1]=-（-）^n-1，
當n=1時，-（-）^1-1=1=a₁．
∴a_n=-（-）^n-1（n∈N^*）．
分析：（理）（1）由x₁=及x_n+1=，得x₂=，x₄=，x₆=．由x₂＞x₄＞x₆猜想，數列{x_2n}是遞減數列．可以用數學歸納法進行證明．
（2）當n=1時，|x_n+1-x_n|=|x₂-x₁|=，結論成立；當n≥2時，0＜x_n-1＜1，故1+x_n-1＜2，x_n=＞，由此能夠證明|x_n+1-x_n|≤（）^n-1．
（文）（1）b₁=a₂-a₁=1，當n≥2時，b_n=a_n+1-a_n=-a_n=-（a_n-a_n-1）=-b_n-1，故{b_n}是以1為首項，-為公比的等比數列．
（2）由b_n=a_n+1-a_n=（-）^n-1，知當n≥2時，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=1+1+（-）+…+（-）^n-2=1+=1+[1-（-）^n-1]=-（-）^n-1，由此能夠求出{a_n}的通項公式．
點評：本題考查數列與不等式的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．