Question

已知雙曲線C的方程為x²-y²=4,橢圓E以雙曲線C的頂點為焦點,且橢圓右頂點A到雙曲線C的漸近線距離為3.

(1)求橢圓E的方程;

(2)若直線y=x與橢圓E交于M、N兩點(M點在第一象限),P、Q是橢圓上不同于M的相異兩點,并且∠PMQ的平分線垂直于x軸.試求直線PQ的斜率.

Answer 1

解:(1)設橢圓的方程為+=1(a＞b＞0),由題意解得

因此,橢圓的方程為=1.

(2)由解之得或∴M(,).

若PM斜率存在,∵∠PMQ的平分線垂直于x軸,

設PM的斜率為k,則QM的斜率為-k,因此PM和QM的方程分別為

y=k(x)+,y=-k(x)+,由

消去y并整理得(1+3k²)x²-3k(k-1)x+k²-9k=0(*).

∵M(,)在橢圓上,∴x=是方程(*)的一個根.

從而x_P=,同理x_Q=,

從而直線PQ的斜率:k_PQ==.

直線PQ的斜率為.若直線PM的斜率不存在,則點Q、M重合,與題設不符.

綜上所述,直線PQ的斜率為定值.