Question

【題目】已知二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次函數(shù)．

當(dāng)，時(shí)，求方程的實(shí)根；

設(shè)b和c都是整數(shù)，若有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，并且在數(shù)軸上四個(gè)根等距排列，試求二次函數(shù)的解析式，使得其所有項(xiàng)的系數(shù)和最小．

Answer 1

【答案】(1)，，，；(2)

【解析】

由題意可得，設(shè)，則，求得t，進(jìn)而得到x的值；

，即為，由題意不妨設(shè)四個(gè)根分別為，，，，可得四個(gè)根的和為，即；再由韋達(dá)定理，消去d，可得b，c的方程，結(jié)合b，c為正整數(shù)和取得最小值，化簡(jiǎn)運(yùn)算和推理可得b，c的最小值，即可得到所求解析式．

當(dāng)，時(shí)，，

設(shè)，則，

，解得或，

當(dāng)時(shí)，，解得或；

當(dāng)時(shí)，，解得：或，

綜上所述：的實(shí)根有：，，，；

，即為，

即有，

，

可得，或，

不妨設(shè)四個(gè)根分別為，，，，

可得四個(gè)根的和為，即；

又設(shè)，，

消去d，可得，

可得，

由b，c為整數(shù)，可得也為正整數(shù)的平方，

設(shè)，k為正整數(shù)，

即有，即為，

由為正整數(shù)的平方，且，

由取得最小值，

可得b的最小值為22，，，

則，其所有項(xiàng)的系數(shù)和最小．