Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c均為實(shí)常數(shù)，且a≠0），滿(mǎn)足條件f（0）=f（2）=0，且方程f（x）=2x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）試確定一個(gè)區(qū)間P，使得f（x）在P內(nèi)單調(diào)遞減且不等式f（x）≥0在P內(nèi)恒成立；
（3）是否存在這樣的實(shí)數(shù)m、n，滿(mǎn)足m＜n，使得f（x）在區(qū)間[m，n]內(nèi)的取值范圍恰好是[4m，4n]？如果存在，試求出m、n的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）由f（2）=f（0）=0可知，4a+2b+c=0，c=0，
又f（x）=2x有兩個(gè)相等實(shí)根，故（b-2）²-4ac=0，
可解得a=-1，b=2，c=0，
故f（x）的解析式為：f（x）=-x²+2x；
（2）由（1）可知f（x）=-x²+2x，
其圖象為開(kāi)口向下的拋物線，對(duì)稱(chēng)軸為x=1，
故可取區(qū)間P=[1，2]，滿(mǎn)足題意；
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m、n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和42m，4n]，
由（1）可知f（x）=-x²+2x=-（x-1）2+1≤1，故4n≤1，故m＜n≤

1

4

，
又函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，拋物線的開(kāi)口向下，
故f（x）在區(qū)間[m，n]單調(diào)遞增，
則有f（m）=4m，f（n）=4n，即m，n為方程-x²+2x=4x的實(shí)根，
解得x=0或x=-2，結(jié)合m＜n可得m=-2，n=0，
故存在m=-2，n=0符合題意．