Question

（本小題滿分15分）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求在最小值；
（2）若存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍；
（3）求證：（）．

Answer 1

(1)；（2）；（3）詳見(jiàn)解析.

試題分析：(1)由求導(dǎo)判的函數(shù)在上單調(diào)遞增，可求函數(shù)的最小值；（2）因存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以有正數(shù)解，再分類討論對(duì)類一元二次函數(shù)存在正解進(jìn)行討論.（3）利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可.
試題解析：（1），定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021503756533.png" style="vertical-align:middle;" />．
，                       
在上是增函數(shù)．
.
（2）  因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240215038191422.png" style="vertical-align:middle;" />
因?yàn)槿?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021503569447.png" style="vertical-align:middle;" />存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以有正數(shù)解.
即有的解 
①      當(dāng)時(shí)，明顯成立 .
②當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向下的拋物線，總有的解；
③當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上的拋物線，
即方程有正根.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021504022555.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以方程有兩正根.
當(dāng)時(shí)，；                       ……… 4分
，解得．                             
綜合①②③知：．                                      ……… 9分
（3）（法一）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．
令，則有，   ．
，
．                                ……… 15分
(法二)當(dāng)時(shí)，．
，，即時(shí)命題成立．
設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即．
時(shí)，．
根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．
令，則有，
則有，即時(shí)命題也成立．
因此，由數(shù)學(xué)歸納法可知不等式成立．                           ……… 15分