Question

【題目】已知向量 =（sinx，﹣1）， =（cosx， ），函數f（x）=（ + ） ．
（1）求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）將函數f（x）的圖象向左平移 個單位得到函數g（x）的圖象，在△ABC中，角A，B，C所對邊分別a，b，c，若a=3，g（ ）= ，sinB=cosA，求b的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：向量 =（sinx，﹣1）， =（cosx， ），

函數f（x）=（ + ） =（sinx+cosx， ）（sinx，﹣1）

=sin2x+sinxcosx﹣ = sin2x﹣ （1﹣2sin2x）= sin2x﹣ cos2x= sin（2x﹣ ），

由2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，k∈Z，

可得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，

即有函數f（x）的單調遞增區間為[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z；

（2）解：由題意可得g（x）= sin（2（x+ ）﹣ ）= sin2x，

g（ ）= sinA= ，

即sinA= ，cosA=± =± ，

在△ABC中，sinB=cosA＞0，

可得sinB= ，

由正弦定理 = ，

可得b= = =3

【解析】（1）運用向量的加減運算和數量積的坐標表示，以及二倍角公式和正弦公式，由正弦函數的增區間，解不等式即可得到所求；（2）運用圖象變換，可得g（x）的解析式，由條件可得sinA，cosA，sinB的值，運用正弦定理計算即可得到所求值．
【考點精析】利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．