Question

【題目】三棱錐P﹣ABC中，△ABC為等邊三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為（ ）
A.48π
B.12π
C.4 π
D.32 π

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵三棱錐P﹣ABC中，△ABC為等邊三角形，PA=PB=PC=2，∴△PAB≌△PAC≌△PBC
∵PA⊥PB，
∴PA⊥PC，PB⊥PC
以PA、PB、PC為過同一頂點(diǎn)的三條棱，作長方體如圖
則長方體的外接球同時也是三棱錐P﹣ABC外接球．
∵長方體的對角線長為 =2 ，
∴球直徑為2 ，半徑R= ，
因此，三棱錐P﹣ABC外接球的表面積是4πR2=4π×（ ）2=12π
故選：B．

證明PA⊥PC，PB⊥PC，以PA、PB、PC為過同一頂點(diǎn)的三條棱，作長方體如圖，則長方體的外接球同時也是三棱錐P﹣ABC外接球．算出長方體的對角線即為球直徑，結(jié)合球的表面積公式，可算出三棱錐P﹣ABC外接球的表面積．