Question

如圖，A是單位圓與x軸正半軸的交點，點P在單位圓上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），

OQ

=

OA

+

OP

，四邊形OAQP的面積為S．
（1）求

OA

•

OQ

+S的最大值及此時θ的值θ₀；
（2）設點B的坐標為(-

3

5

，

4

5

)，∠AOB=α，在（1）的條件下求cos（α+θ₀）．

Answer 1

分析：（1）由已知我們可得：

OA

•

OQ

+S=(

OA

)2+

OA

•

OP

+S=1+cosθ+sinθ，轉化為正弦型函數，結合（0＜θ＜π），易給出

OA

•

OQ

+S的最大值及此時θ的值θ₀；
（2）由已知cosα=-

3

5

，sinα=

4

5

，根據（1）的結論θ0=

π

4

，代入兩角和的余弦函數公式，即可得到結論．

解答：解：（1）

OA

•

OQ

+S=

2

sin(θ+

π

4

)+1(0＜θ＜π)，
故

OA

•

OQ

+S的最大值是

2

+1，
此時θ0=

π

4

．
（2）cosα=-

3

5

，sinα=

4

5

，
cos（α+θ₀）=cosαcosθ₀-sinαsinθ₀=-

7 2

10

．

點評：函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A確定，由周期由ω決定，即要求三角函數的周期與最值一般是要將其函數的解析式化為正弦型函數，再根據最大值為|A|，最小值為-|A|，周期T=

2π

ω

進行求解．