Question

已知函數f（x）=log₂（x+t），且f（0），f（1），f（3）成等差數列，點P是函數y=f（x）圖象上任意一點，點P關于原點的對稱點Q的軌跡是函數y=g（x）的圖象．
（1）解關于x的不等式2f（x）+g（x）≥0；
（2）當x∈[0，1）時，總有2f（x）+g（x）≥m恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：根據f（0），f（1），f（3）成等差數列，可得2log₂（1+t）=log₂t+log₂（3+t），從而有f（x）=log₂（x+1），根據P、Q關于原點對稱，可得g（x）=-log₂（1-x）
（1）2f（x）+g（x）≥0等價于

1+x＞0 1-x＞0 (1+x)2≥1-x

，由此可得不等式的解集；
（2）y=2f（x）+g（x）=2log₂（1+x）-log₂（1-x），當x∈[0，1）時2f（x）+g（x）≥m恒成立，即在當x∈[0，1）時log2

(1+x)2

1-x

≥log22m恒成立，即2m≤

(1+x)2

1-x

，求出右邊函數的最小值，即可求得m的取值范圍．

解答：解：由f（0），f（1），f（3）成等差數列，得2log₂（1+t）=log₂t+log₂（3+t），
即（t+1）²=t（t+3）（t＞0），∴t=1
∴f（x）=log₂（x+1）
由題意知：P、Q關于原點對稱，設Q（x，y）函數y=g（x）圖象上任一點，則P（-x，-y）是f（x）=log₂（x+1））上的點，所以-y=log₂（-x+1），于是g（x）=-log₂（1-x）
（1）∵2f（x）+g（x）≥0，∴

1+x＞0 1-x＞0 (1+x)2≥1-x

，∴0≤x＜1
∴不等式的解集是{x|0≤x＜1}
（2）y=2f（x）+g（x）=2log₂（1+x）-log₂（1-x），當x∈[0，1）時2f（x）+g（x）≥m恒成立，
即在當x∈[0，1）時log2

(1+x)2

1-x

≥log22m恒成立，即2m≤

(1+x)2

1-x

，
設φ（x）=

(1+x)2

1-x

=(1-x)+

4

x-1

-4，
∵0≤x＜1，∴1-x＞0
∴函數φ（x）在[0，1）上單調遞增
∴φ（x）_min=1
∴2^m≤1
∴m≤0．

點評：本題考查數列與函數的綜合，考查解不等式，考查恒成立問題，正確分離參數，求函數的最值是關鍵．