Question

（2013•湖南）對于E={a₁，a₂，…．a₁₀₀}的子集X={a₁，a₂，…，a_n}，定義X的“特征數列”為x₁，x₂…，x₁₀₀，其中x₁=x₁₀=…x_n=1．其余項均為0，例如子集{a₂，a₃}的“特征數列”為0，1，0，0，…，0
（1）子集{a₁，a₃，a₅}的“特征數列”的前3項和等于

2

；
（2）若E的子集P的“特征數列”P₁，P₂，…，P₁₀₀ 滿足p₁=1，p_i+p_i+1=1，1≤i≤99；E的子集Q的“特征數列”q₁，q₂，q₁₀₀滿足q₁=1，q_j+q_j+1+q_j+2=1，1≤j≤98，則P∩Q的元素個數為

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．

Answer 1

分析：（1）利用“特征數列”的定義即可得出；
（2）利用“特征數列”的定義分別求出子集P，Q的“特征數列”，再找出相同“1”的個數即可．

解答：解：（1）子集{a₁，a₃，a₅}的“特征數列”為：1，0，1，0，1，0，…，0．故前三項和等于1+0+1=2；
（2）∵E的子集P的“特征數列”P₁，P₂，…，P₁₀₀ 滿足P₁+P_i+1=1，1≤i≤99，∴P的特征數列為1，0，1，0，…，1，0．其中奇數項為1，偶數項為0．
又E 的子集Q的“特征數列”q₁，q₂，…，q₁₀₀滿足q₁=1，q_j+q_j+1+q_j+2=1，1≤j≤98，可知：j=1時，q₁+q₂+q₃=1，∵q₁=1，∴q₂=q₃=0；同理q₄=1=q₇=…=q_3n-2．
∴子集Q的“特征數列”為1，0，0，1，0，0，1，…，1，0，0，1．
則P∩Q的元素為a₁，a₇，a₁₃，…，a₉₁，a₉₇．
∵97=1+（17-1）×6，∴共有17相同的元素．
故答案分別為2，17．

點評：正確理解“特征數列”的定義是解題的關鍵．