Question

12、已知函數y=log₂（x²-4x+a），設方程x²-4x+a=0的判別式為△，
（1）、若a=3，則△

＞

0；函數的定義域是

（-∞，1）∪（3，+∞）

；值域是

R

．
（2）、若a=4，則△

=

0；函數的定義域是

（-∞，2）∪（2，+∞）

；值域是

R

．
（3）、若a=5，則△

＜

0；函數的定義域是

R

；值域是

[0，+∞）

．
（4）、若函數定義域為R，則實數a∈

（4，+∞）

；若函數值域為R，則實數a∈

（-∞，4）

．

Answer 1

分析：（1）若a=3，則△＞0；x²-4x+3＞0解得定義域，值域由對數函數的性質可知．
（2）若a=4，則△=0；x²-4x+4＞0解得定義域，值域由對數函數的性質可知．
（3）若a=5，則△＜0；x²-4x+5＞0一定成立，則函數的定義域是 R；值域由對數函數的性質可知．
（4）若函數定義域為R，則實數x²-4x+a＞0一定成立，由判別式法求解；若函數值域為R，則x²-4x+a充滿（0，+∞）所有的數求解．

解答：解：（1）若a=3，則△＞0；
∵x²-4x+3＞0
∴x＞3，x＜1
∴函數的定義域是 （-∞，1）∪（3，+∞）；值域是 R．
（2）若a=4，則△=0；
∵x²-4x+4＞0
∴x≠2
∴函數的定義域是 （-∞，2）∪（2，+∞）；值域是 R．
（3）若a=5，則△＜0；∴x²-4x+5＞0對x∈R恒成立
∴函數的定義域是 R；值域是[0，+∞）．
（4）、若函數定義域為R，x²-4x+a＞0對x∈R恒成立
則△=16-4a＜0
∴a＞4
∴實數a∈（4，+∞）；
若函數值域為R，則x²-4x+a充滿（0，+∞）所有的數
則△=16-4a≥0
∴a≤4
∴實數a∈（-∞，4]．
故答案為：（1）＞，（-∞，1）∪（3，+∞），R
（2）=，（-∞，2）∪（2，+∞），R
（3）＜，R，[0，+∞）．
（4）（4，+∞）；∈（-∞，4]．

點評：本題主要考查了對數函數的真數要大于零，體現了函數，方程，不等式的轉化與應用．