Question

【題目】已知（且m為常數）.

（1）討論函數的單調性；

（2）若對任意的，都存在，使得（其中e為自然對數的底數），求實數k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，遞增區間是，無遞減區間，當時，遞增區間是，遞減區間是；（2）.

【解析】

（1）求出，對分類討論，求出的解，就可得出結論；

（2）設，所求的問題轉化為，通過求導數法，求出取最大值時自變量與的關系，而對任意的都成立，將用表示，構造新函數，再求導求出新函數的最小值，即可求出結論.

（1）的定義域為，

，當時，恒成立，

當時，，

綜上，當時，遞增區間是，無遞減區間，

當時，遞增區間是，遞減區間是；

（2）設，依題意，

，令，

恒成立，在是減函數，

即在是減函數，，

，存在唯一，使得，

當，

遞增區間是，遞減區間是，

取得極大值，也是最大值為，

，

對于對任意的恒成立，

其中，，

即，

對于對任意的恒成立，

設，

，

時，，

，當，

時，取得極小值，也是最小值，

即.