Question

已知a，b∈R，函數f（x）=x³+ax²+bx-2在x=1取得極值
（1）求a與b的關系式；
（2）若y=f（x）的單調減區間的長度不小于2，求a的取值范圍（注：區間[m，n]的長度為n-m）；
（3）若不等式f（x）≥x-2對一切x≥3恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出函數的導函數，然后根據函數f（x）=x³+ax²+bx-2在x=1取得極值，則f'（1）=0可求出a和b的關系；
（2）將b用a代換，然后求出y=f（x）的單調減區間，根據單調減區間的長度不小于2建立不等關系，求出a的范圍即可；
（3）f（x）=x³+ax²+（-2a-3）x-2≥x-2對一切x≥3恒成立轉化成x³+ax²-（2a+4）x≥0對一切x≥3恒成立，則x²+ax-（2a+4）≥0對一切x≥3恒成立，最后利用參數分離法求出a的范圍．
解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax+b
∵函數f（x）=x³+ax²+bx-2在x=1取得極值
∴f'（1）=3+2a+b=0
（2）由（1）知b=-2a-3
∴f'（x）=3x²+2ax-2a-3=（3x+2a+3）（x-1）＜0
∵y=f（x）的單調減區間的長度不小于2
∴|1-（）|≥2
解得：a≥0或a≤-6
（3）f（x）=x³+ax²+（-2a-3）x-2≥x-2對一切x≥3恒成立
x³+ax²-（2a+4）x≥0對一切x≥3恒成立
∴x²+ax-（2a+4）≥0對一切x≥3恒成立
即a（x-2）≥4-x²，a≥-x-2
∴a≥-5
點評：本題主要考查了函數在某點取得極值的條件，函數恒成立問題和利用導數研究函數的單調性，是一道綜合題，有一定的難度，同時考查了轉化思想．