Question

【題目】設動點到定點的距離比它到軸的距離大，記點的軌跡為曲線.

（1）求點的軌跡方程；

（2）若圓心在曲線上的動圓過點，試證明圓與軸必相交，且截軸所得的弦長為定值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據拋物線定義判斷點的軌跡，再根據拋物線幾何條件求標準方程，（2）結合題意設出圓心的坐標，并根據圓過點A得到圓的標準方程，在圓方程中令后可得關于x的二次方程，根據此方程判別式可判斷圓與x軸相交，同時并根據數軸上兩點間的距離求出弦長．

試題解析：（1）依題意知，動點到定點 的距離等于到直線的距離，

∴曲線是以原點為頂點， 為焦點的拋物線．

設曲線C的方程為,

則， ∴，∴曲線方程是 ．

（2）

設圓心為，則，

∵圓過 ，∴圓的方程為，

令得．

∵∴圓與軸必相交，

設圓M與軸的兩交點分別為E ，G

則， ，　

∴ ，

∴=4．

故圓截軸所得的弦長為定值．