Question

已知曲線C1：y=x2-1與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，圓C₂經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)．
（1）求圓C₂的方程；
（2）過點(diǎn)P（0，m）（m＜-1）的直線l與圓C₂相切，試探討直線l與曲線C₁的位置關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）由題意可得A（-1，0），B（1，0），C（0，-1），得|OA|=|OB|=|OC|，從而可求圓C₂的方程；
（2）由題意可知直線的斜率存在，可設(shè)其方程為y=kx+m，根據(jù)直線與圓相切，得

|m|

k2+1

=1，即k²=m²-1
聯(lián)立直線l與曲線C₁的方程消元，確定方程的判別式，根據(jù)判別式，即可確定直線l與曲線C₁的位置關(guān)系．

解答：解：（1）由題意可得A（-1，0），B（1，0），C（0，-1），得|OA|=|OB|=|OC|，所以圓C₂的方程為x²+y²=1；
（2）由題意可知直線的斜率存在，可設(shè)其方程為y=kx+m
由直線與圓相切，得

|m|

k2+1

=1，∴k²=m²-1
聯(lián)立直線l與曲線C₁的方程可得

y=kx+m y=x2-1

，消元可得x²-kx-m-1=0
△=k²+4m+4=m²+4m+3
當(dāng)△＜0時(shí)，即-3＜m＜-1時(shí)，直線l與曲線C₁沒有公共點(diǎn)；
當(dāng)△＜0時(shí)，即m=-3時(shí)，直線l與曲線C₁有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)△＜0時(shí)，即m＜-3時(shí)，直線l與曲線C₁有兩個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，聯(lián)立方程組，利用判別式是解題的關(guān)鍵．