Question

如圖，在三棱錐中，平面，.

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）設分別為的中點，點為△內一點，且滿足，
求證：∥面；
（Ⅲ）若，，求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）因為AC和PB是異面直線，所以可以采用線面垂直得線線垂直的方法證，即先平面。要證平面需證面內的兩條相交線PA和AB都和AC垂直。為已知條件證PA和AC垂直依據是線面垂直得線線垂直。（Ⅱ）（法一空間向量法）由題意可以點A為坐標原點，以AC,AB,AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系。分別設出AB,AC,AP的三邊長，故可得點A,點B點C點P的坐標，因為點D為PA中點，即可得到點D的坐標，根據得到點G的坐標，即可求出坐標和平面PBC的一個法向量的坐標，用向量數量積公式可求得，即，因為平面，所以∥平面．（法二一般方法）由可知，G為三角形重心。設AB中點為E，所以G在OE上，根據中位線可得∥，連結并延長交于，連。因為∥，且E為AB中點，所以G為AF中點，所以∥，內線外線平行所以得線面平行。問題得證。（Ⅲ）采用空間向量法，由（Ⅰ）可知是面PAB的一個法向量。先求兩個法向量所成的角。兩個法向量所成的角與二面角相等或互補。由觀察可知此二面角為銳二面角，所以余弦值為正值。
試題解析：證明：（Ⅰ）因為平面，平面，
所以．
又因為，且，
所以平面．
又因為平面，
所以．                                       4分
（Ⅱ）
解法1:因為平面，所以，．又因為，
所以建立如圖所示的空間直角坐標系．

設，，，
則，，，
，．
又因為，
所以．
于是，
，．
設平面的一個法向量
，則有
即 
不妨設，則有，所以．
因為，
所以．又因為平面，
所以∥平面．                                          9分
解法2：

取中點，連，則.
由已知可得,
則點在上.連結并延長交于，連.
因為分別為的中點，
所以∥,即為的中點.
又因為為線段的中點，
所以∥.
又平面,平面,
所以∥平面．       9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面的一個法向量．
又因為面，所以面的一個法向量是．
又，
由圖可知，二面角為銳角，
所以二面角的余弦值為．                        14分