Question

設橢圓的上頂點為A，橢圓C上兩點P，Q在x軸上的射影分別為左焦點F₁和右焦點F₂，直線PQ的斜率為，過點A且與AF₁垂直的直線與x軸交于點B，△AF₁B的外接圓為圓M．
（1）求橢圓的離心率；
（2）直線與圓M相交于E，F兩點，且，求橢圓方程；
（3）設點N（0，3）在橢圓C內部，若橢圓C上的點到點N的最遠距離不大于，求橢圓C的短軸長的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由條件可知
因為，所以（4分）
（2）由（1）可知，
所以
從而M（c，0）．半徑為a，
因為，
所以∠EMF=120°，可得：M到直線l的距離為．
所以c=2，所以橢圓方程為．（8分）
（3）因為點N在橢圓內部，
所以b＞3．（9分）
設橢圓上任意一點為K（x，y），
則．
由條件可以整理得：y²+18y-4b²+189≥0
對任意y∈[-b，b]（b＞3）恒成立，
所以有：
或者
解之得：（13分）
分析：（1）先把點P，Q的坐標用a，b，c表示出來，再利用直線PQ的斜率為，即可求橢圓的離心率；
（2）先求出點A，F₁，B以及M的坐標和圓的半徑，再利用可得M到直線l的距離為．就可求出a，b，c的值進而求出橢圓方程；
（3）先利用點N（0，3）在橢圓C內部求出b的范圍，再求出橢圓C上的點到點N的距離的表達式，利用題中條件轉化為恒成立問題來求橢圓C的短軸長的取值范圍．
點評：本題綜合考查了圓與橢圓的綜合，直線與橢圓的位置關系以及向量的數量積問題．直線與圓錐曲線的位置關系，由于集中交匯了直線，圓錐曲線兩章的知識內容，綜合性強，能力要求高，還涉及到函數，方程，不等式，平面幾何等許多知識，可以有效的考查函數與方程的思想，數形結合的思想，分類討論的思想和轉化化歸的思想，因此，這一部分內容也成了高考的熱點和重點