Question

已知雙曲線的中心為原點，左、右焦點分別為、，離心率為，點是直線上任意一點，點在雙曲線上，且滿足.

（1）求實數的值；

（2）證明：直線與直線的斜率之積是定值；

（3）若點的縱坐標為，過點作動直線與雙曲線右支交于不同的兩點、，在線段上去異于點、的點，滿足，證明點恒在一條定直線上.

 

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據雙曲線的離心率列方程求出實數的值；（2）設點的坐標為，點的坐標為，利用條件確定與、之間的關系，再結合點在雙曲線上這一條件，以及斜率公式來證明直線與直線的斜率之積是定值；（3）證法一是先設點、的坐標分別為、，結合（2）得到，，引入參數，利用轉化為相應的條件，利用坐標運算得到點的坐標所滿足的關系式，進而證明點恒在定直線上；證法二是設直線的方程為，將直線的方程與雙曲線的方程聯立，結合韋達定理，將條件進行等價轉化為，結合韋達定理化簡為，最后利用點在直線上得到，從而消去得到

，進而證明點恒在定直線上.

試題解析：（1）根據雙曲線的定義可得雙曲線的離心率為，由于，解得，

故雙曲線的方程為；

（2）設點的坐標為，點的坐標為，易知點，

則，，

，因此點的坐標為，

故直線的斜率，直線的斜率為，

因此直線與直線的斜率之積為，

由于點在雙曲線上，所以，所以，

于是有

（定值）；

（3）證法一：設點 且過點的直線與雙曲線的右支交于不同的兩點、，由（2）知，，，

設，則，即，

整理得，

由①③，②④得，，

將，，代入⑥得，⑦，

將⑦代入⑤得，即點恒在定直線上；

證法二：依題意，直線的斜率存在，設直線的方程為，

由，

消去得，

因為直線與雙曲線的右支交于不同的兩點、，

則有，

設點，由，得，

整理得，

將②③代入上式得，

整理得，④

因為點在直線上，所以，⑤

聯立④⑤消去得，所以點恒在定直線.

考點：1.雙曲線的離心率；2.向量的坐標運算；3.斜率公式；4.韋達定理