Question

如圖，為60°的二面角，等腰直角三角形MPN的直角頂點P在l上，M∈α,N∈β,且MP與β所成的角等于NP與α所成的角.
(1)求證: MN分別與α、β所成角相等；
(2)求MN與β所成角.

Answer 1

(1) 證明略(2) MN與β所成角為30°

 作NA⊥α于A，MB⊥β于B,連接AP、PB、BN、AM，再作AC⊥l于C，BD⊥l于D，連接NC、MD.

∵NA⊥α,MB⊥β,∴∠MPB、∠NPA分別是MP與β所成角及NP與α所成角，∠MNB，∠NMA分別是MN與β,α所成角，∴∠MPB=∠NPA.
在Rt△MPB與Rt△NPA中，PM=PN，∠MPB=∠NPA，∴△MPB≌△NPA，∴MB=NA.
在Rt△MNB與Rt△NMA中，MB=NA，MN是公共邊，∴△MNB≌△NMA，∴∠MNB=∠NMA，即(1)結論成立.
(2)解:設∠MNB=θ,MN=a,則PB=PN=a,MB=NA=asinθ，NB=acosθ?,∵MB⊥β,BD⊥l,∴MD⊥l,∴∠MDB是二面角α—l—β的平面角，
∴∠MDB=60°，同理∠NCA=60°,
∴BD=AC=asinθ,CN=DM=asinθ,
∵MB⊥β，MP⊥PN，∴BP⊥PN
∵∠BPN=90°,∠DPB=∠CNP,∴△BPD∽△PNC,∴


整理得，16sin⁴θ－16sin²θ+3=0
解得sin²θ=,sinθ=，
當sinθ=時，CN=asinθ=a＞PN不合理，舍去.
∴sinθ=,∴MN與β所成角為30°.