Question

設f（log_ax）=
求證：
（1）過函數(shù)y=f（x）圖象上任意兩點直線的斜率恒大于0；
（2）f（3）＞3．

Answer 1

【答案】分析：（1）先用換元法求出函數(shù)f（x）的解析式，要證過函數(shù)y=f（x）圖象上任意兩點直線的斜率恒大于0，只需證明函數(shù)f（x）為增函數(shù)即可，用單調性定義可證明；
（2）代入解析式化簡可得，f（3）=+1，運用基本不等式即可證明，注意等號不等取到；
解答：證明：（1）令t=log_ax，則x=a^t，f（t）=（t∈R），
∴f（x）=（x∈R），
設x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=，
（1）當a＞1時，因為x₁0，，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增；
（2）當0＜a＜1時，因為a²-1＜0，＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增；
∴x₁＜x₂時，恒有f（x₁）＜f（x₂），∴K=＞0，
故過函數(shù)y=f（x）圖象上任意兩點直線的斜率恒大于0；
（2）f（3）====+1≥2+1=3，
∵a＞0，a≠1，∴，∴上述不等式不能取等號，
∴f（3）＞3．
點評：本題考查函數(shù)解析式的求法，考查單調性的判斷及直線斜率問題，考查基本不等式的應用，具有一定綜合性，屬中檔題．