Question

已知二次函數f（x）=x²-ax+a，（a≠0x∈R），有且僅有唯一的實數x值滿足f（x）≤0的實數x值滿足f（x）≤0．
（1）在數列{a_n}中，滿足S_n=f（n）-4，求{a_n}的通項；
（2）在數列{a_n}中依次取出第1項、第2項、第4項…第2^n-1項…組成新數列{b_n}，求新數列{b_n}的前n項和T_n；
（3）（理科）設數列{c_n}滿足c_n+c_n+1=2n+3，c₁=1，數列{c_n}的前n項和記作H_n，試比較H_n與題（1）中S_n的大小．
（4）（文科）設c_n=

n

anan+1

，求數列{cn}的最大和最小值．

Answer 1

分析：（1）根據二次函數性質，，△=0，解方程得出a的值，得出S_n=的解析式，利用數列中Sn與a_n的固有關系an=

s1    n=1 sn-sn-1    n≥2

，求出{a_n}的通項
（2）由已知，得出b_n=2×2^n-1-5，采用等比數列求和公式，分組法求和．
（3）（理）由

cn+cn+1=2n+3 cn+1+cn+2=2n+5

得出c_n+2-c_n=2，偶數項成等差數列，奇數項也成等差數列，對n分奇偶性分類求和．
（4）（文）c_n=

n

(2n-5)(2n-3)

=

n

4n2-16n+15

=

1

4n+ 15 n -16

利用函數的數列性質，得出{c_n }的單調性，再求出最值即可．

解答：解（1）∵f（x）≤0僅有唯一的x值滿足，∴△=0，∴a=0或4，∵a≠0，∴a=4
S_n=n²-4n，a_n=

s1(n=1) Sn-Sn-1(n≥2)

=

-3(n=1) 2n-5(n≥2)

∴an=2n-5
（2）b_n：b₁=2×1-5，b₂=2×2-5，b₃=2×4-5，…b_n=2×2^n-1-5
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2（1+2+4+…+2^n-1）-5n
=2

1-2n

1-2

-5n=2(2n-1)-5n=2n+1-5n-2
（3）（理科）

cn+cn+1=2n+3 cn+1+cn+2=2n+5

，∴c_n+2-c_n=2，c₁=1，c₂=4
c_n：1，3，5，7，9…
  4，6，8，10…
當n為偶數，n=2k，H_n=5+9+13+…=5k+

k(k-1)

2

4=

n2+3n

2

當n為奇數，n=2k-1，H_n=1+（7+11+15+…）
=1+7（k-1）+

(k-1)(k-2)

2

4=

n2+3n-2

2

∴H_n=

n2+3n 2 ，n=2k(k=1，2，3…) n2+3n-2 2 ，n=2k-1(k=1，2，3…)

當n=2k與n=2k-1時，分別比較H_n與S_n大小（作差比較）
當1≤n≤10時，H_n＞S_n
當n≥11時，H_n＜S_n
 （4）（文科）c_n=

n

(2n-5)(2n-3)

=

n

4n2-16n+15

=

1

4n+ 15 n -16

c₁=

1

3

，c₂=-2，當n≥3時，4n+

15

n

單調遞增，且4n+

15

n

-16＞0，
∴（c_n）_min=c₂=-2；∴（c_n）_max=c₃=1

點評：本題考查構造法求數列通項公式，等比數列的判定，數列公式法、分組法求和，數列的函數性質．考查推理論證、計算能力，分類討論的思想．