Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+ax+b，若關于x的不等式f（x）＜0的解集為{x|2＜x＜8}．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x＞0時，不等式f（x）-mx＞0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)不等式的解集可得所對應的一元二次方程的根，利用根與系數(shù)的關系可求出a與b的值，從而求出解析式；
（2）恒成立問題可將參數(shù)m分離出來，研究利用基本不等式研究不等式的最值，從而求出m的取值范圍．

解答：解：（1）∵關于x的不等式f（x）＜0的解集為{x|2＜x＜8}．
∴f（x）=0的兩個根為2與8
則2+8=-a，2×8=b
即a=-10，b=16
∴f（x）=x²-10x+16
（2）若x＞0時，不等式f（x）-mx＞0恒成立
即若x＞0時，不等式x²-（10+m）x+16＞0恒成立
則m＜x+

16

x

-10在（0，+∞）上恒成立
∴m＜（x+

16

x

-10）_min=-2
∴m＜-2

點評：本題主要考查了一元二次不等式的解法，以及函數(shù)恒成立問題，同時考查了計算能力和轉化的思想，屬于基礎題．