Question

【題目】如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形, ,平面底面, 為中點, 是棱上的點, .

（Ⅰ）若點是棱的中點,求證: 平面;

（Ⅱ）求證:平面平面;

（Ⅲ）若二面角為,設,試確定的值.

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）詳見解析；（III）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）連接交于,連接，證得，再利用線面平行的判定定理，證得平面；

（Ⅱ）因為為中點，得到，進而得到平面，利用面面垂直的判定定理，即可證明平面平面；

（Ⅲ）以為原點,以的方向分別為軸, 軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，求得平面的一個法向量和平面中, ，利用向量的夾角公式，即可求得的值.

試題解析：

（Ⅰ）證明:連接交于,連接,

因為且,即且

所以四邊形為平行四邊形,且為中點,

又因為是中點,

所以,

因為平面, 平面

所以平面.

（Ⅱ）因為為中點,

所以四邊形為平行四邊形,所以.

因為,所以,即.

又因為平面平面,且平面平面,

所以平面,

因為平面,

所以平面平面.

（Ⅲ）因為為的中點,所以.

又因為平面平面,且平面平面,

所以平面

以為原點,以的方向分別為軸, 軸的正方向,

建立如圖所示的空間直角坐標系,

則點, , , ,平面的一個法向量.

設,則,,

因為

所以

在平面中, ,

因為二面角為,

所以,

所以.