Question

16、已知函數f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）當a＞1時，求證：函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
（Ⅱ）若函數y=|f（x）-t|-1有三個零點，求t的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求原函數的導數得：f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，由于a＞1，得到f'（x）＞0，從而函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增．
（Ⅱ）由已知條件得，當a＞0，a≠1時，f'（x）=0有唯一解x=0，又函數y=|f（x）-t|-1有三個零點，等價于方程f（x）=t±1有三個根，從而t-1=（f（x））_min=f（0）=1，解得t即得．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna
由于a＞1，故當x∈（0，+∞）時，lna＞0，a^x-1＞0，所以f'（x）＞0，
故函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增（4分）
（Ⅱ）當a＞0，a≠1時，因為f'（0）=0，且f'（x）在R上單調遞增，
故f'（x）=0有唯一解x=0（6分）
所以x，f'（x），f（x）的變化情況如表所示：

又函數y=|f（x）-t|-1有三個零點，所以方程f（x）=t±1有三個根，
而t+1＞t-1，所以t-1=（f（x））_min=f（0）=1，解得t=2（10分）．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究函數的單調性、函數的零點等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．