Question

在一段時間內，某種商品的價格x（萬元）和需求量Y（t）之間的一組數據為：

價格x	1.4	1.6	1.8	2	2.2
需求量Y	12	10	7	5	3

（1）在右面的坐標系中畫出散點圖；

（2）求出Y對x的回歸直線方程 

y

=

a

+

b

x；（其中：

b

=

n i=1 xiyi-n  . x . y

n i=1 xi2-n . x 2

，

a

= 

.

y

- 

b

.

x

參考數據1.4²+1.6²+1.8²+2²+2.2²=16.6）

序號
1
2
3
4
5
求和

（3）回答下列問題：
（i）若價格定為1.9萬元，預測需求量大約是多少？（精確到0.01t）
（ii）當價格定為多少時，商品將出現滯銷？（精確到0.01萬元）
（iii）當價格定為多少時，獲得的收益最大？

Answer 1

分析：（1）根據表中給的數據，在直角坐標系中畫出散點圖；
（2）將表中所給的數據代入公式：

b

=

n i=1 xiyi-n  . x . y

n i=1 xi2-n . x 2

，

a

= 

.

y

- 

b

.

x

，求出

b

，

a

的值，進一步求出Y對x的回歸直線方程．
（3））（i）將x=1.9代入

?

y

=-11.5x+28.1得y=6.25，得到價格定為1.9萬元，預測需求量大約是6.25．
（ii）令

?

y

=-11.5x+28.1=0得x=2.44，得到當價格定為2.44時，商品將出現滯銷；
（iii）獲得的收益z=x

y

=-11.5x²+28.1x，求出二次函數的對稱軸，即為獲得的收益最大時價格的值．

解答：解：（1）

（2）解：由數據表可得

.

x

=

1.4+1.6+1.8+2+2.2

5

=1.8，

.

y

=

12+10+7+5+3

5

=7.4，
∴

b

=

5 i=1 xiyi-5 . x . y

5 i=1 xi2-5 . x 2

=-11.5，

a

=

.

y

-

b

.

x

=28.1，
∴回歸直線方程為

?

y

=-11.5x+28.1
（3）（i）將x=1.9代入

?

y

=-11.5x+28.1得y=6.25，
所以價格定為1.9萬元，預測需求量大約是6.25．
（ii）令

?

y

=-11.5x+28.1=0得x=2.44，
所以當價格定為2.44時，商品將出現滯銷；
（iii）獲得的收益z=x

y

=-11.5x²+28.1x，
當x=1.22時，z最大，所以當價格定為1.22時，獲得的收益最大．．

點評：本題考查線性回歸方程，是一個基礎題，解題的關鍵是利用最小二乘法寫出線性回歸系數，注意解題的運算過程不要出錯．