Question

已知定義在[-1，1]上的奇函數f（x），當x∈（0，1]時，f(x)=

2x

4x+1

．
（1）求函數f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）判斷f（x）在（0，1]上的單調性，并證明；
（3）要使方程f（x）=x+b在[-1，1]上恒有實數解，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設x∈[-1，0），則-x∈（0，1]，利用當x∈（0，1]時，f(x)=

2x

4x+1

，函數為奇函數，可求函數的解析式；
（2）利用導數，判斷導數小于0，即可求得函數的單調性；
（3）將b表示為x的函數，利用單調性求f（x）-x在[-1，1]上值域，即可求得實數b的取值范圍

解答：解：（1）設x∈[-1，0），則-x∈（0，1]
∵當x∈（0，1]時，f(x)=

2x

4x+1

∴f(-x)=

2-x

4-x+1

∵f（x）是奇函數
∴f（x）=-f（-x）=-

2-x

4-x+1

∵f（0）=0
∴函數f（x）在[-1，1]上的解析式為f（x）=

2x 4x+1 ，x∈(0，1] 0，x=0 - 2-x 4-x+1 ，x∈[-1，0)

；
（2）f（x）在（0，1]上單調遞減，證明如下：
∵當x∈（0，1]時，f(x)=

2x

4x+1

，
∴f′(x)=

2xln2(1-4x)

(4x+1)2

∵x∈（0，1]，∴f′（x）＜0
∴f（x）在（0，1]上單調遞減；
（3）記g（x）=f（x）-x，則g（x）為（0，1]上的單調遞減函數．
∴g（x）∈[g（1），g（0））⇒g（x）∈[-

3

5

，

1

2

）．
∵g（x）在[-1，1]上為奇函數，∴當x∈[-1，0）時g（x）∈（-

1

2

，

3

5

]．
又g（0）=0，
∴g（x）∈[-

3

5

，

3

5

]，即b∈[-

3

5

，

3

5

]．

點評：本題考查單調性與奇偶性，考查函數的解析式，考查單調性的證明，考查函數的值域，屬于中檔題．