Question

（本小題滿分12分）
已知函數 ，．
（Ⅰ）當  時，求函數  的最小值；
（Ⅱ）當  時，討論函數  的單調性；
（Ⅲ）求證：當 時，對任意的 ，且，有．

Answer 1

.解：顯然函數的定義域為，當∴當，．∴在時取得最小值，其最小值為
（Ⅱ）∵，
∴（1）當時，若為增函數；
為減函數；為增函數．
（2）當時，為增函數；
為減函數；為增函數．
（3）當時， 在恒成立，即在為增函數
（Ⅲ）不妨設，要證明，即證明：當時，函數．

略