Question

已知直線l經過點P(3，1)，且被兩平行直線l₁：x＋y＋1＝0和l₂：x＋y＋6＝0截得的線段之長為5，求直線l的方程．

Answer 1

x＝3或y＝1

(解法1)若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x＝3，此時與l₁、l₂的交點分別為A′(3，－4)和B′(3，－9)，截得的線段AB的長＝5，符合題意．
若直線l的斜率存在，則設直線l的方程為y＝k(x－3)＋1.
解方程組，得A，
解方程組，得B.
由＝5，得＝5².
解之，得k＝0，即所求的直線方程為y＝1.綜上可知，所求l的方程為x＝3或y＝1.
(解法2)由題意，直線l₁、l₂之間的距離為d＝＝，且直線l被平行直線l₁、l₂所截得的線段AB的長為5(如圖)．

設直線l與直線l₁的夾角為θ，則sinθ＝，故θ＝45°.
由直線l₁：x＋y＋1＝0的傾斜角為135°，知直線l的傾斜角為0°或90°.又直線l過點P(3，1)，故直線l的方程為x＝3或y＝1.
(解法3)設直線l與l₁、l₂分別相交于A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，則x₁＋y₁＋1＝0，x₂＋y₂＋6＝0.
兩式相減，得(x₁－x₂)＋(y₁－y₂)＝5.①
又(x₁－x₂)²＋(y₁－y₂)²＝25，②
聯立①②，可得 
由上可知，直線l的傾斜角分別為0°或90°.
故所求直線方程為x＝3或y＝1.