Question

A是定義在[2，4]上且滿足如下兩個條件的函數Φ（x）組成的集合：
①對任意的x∈[1，2]，都有Φ（2x）∈（1，2）；
②存在常數L（0＜L＜1），使得對任意的x₁，x₂∈[1，2]，都有|Φ（2x₁）-Φ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|；
（1）設，證明：Φ（x）∈A；
（2）設Φ（x）∈A，如果存在x₀∈（1，2），使得x₀=Φ（2x₀），那么，這樣的x₀是唯一的；
（3）設Φ（x）∈A，任取x₁∈（1，2），令x_n+1=Φ（2x_n），n=1，2，…，
證明：給定正整數k，對任意的正整數p，不等式成立．

Answer 1

證明：（1）對任意，
于是，（2分）
又，
所以φ（2x）∈（1，2）．
對任意x₁，x₂∈（1，2），|φ（2x₁）-φ（2x₂）|
==
由于，
所以，（4分）
令，
則0＜L＜1，|φ（2x₁）-φ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|，所以φ（x）∈A．（7分）
（2）反證法：設存在x₀，x₀′∈（1，2），x₀≠x₀′，使得x₀=φ（2x₀），x₀′=φ（2x₀′），
則由|φ（2x₀）-φ（2x₀′）|≤L|x₀-x₀′|，
得|x₀-x₀'|≤L|x₀-x₀'|，所以L≥1，與題設矛盾，故結論成立．（10分）
（3）|x₃-x₂|=|φ（2x₂）-φ（2x₁）|≤L|x₂-x₁|，所以進一步可得|x_n+1-x_n|≤L^n-1|x₂-x₁|，n∈N*，（12分）
于是|x_k+p-x_k|=|（x_k+p-x_k+p-1）+（x_k+p-1-x_k+p-2）+…+（x_k+1-x_k）|
≤|x_k+p-x_k+p-1|+|x_k+p-1-x_k+p-2|+…+|x_k+1-x_k|≤L^k+p-2|x₂-x₁|+L^K+P-3|x₂-x₁|+…+L^k-1|x₂-x₁|=．（16分）
分析：（1）欲證Φ（x）∈A，即證Φ（x）滿足條件的兩條：①②．
①對任意，所以φ（2x）∈（1，2）．
②對任意x₁，x₂∈（1，2），|φ（2x₁）-φ（2x₂）|利用絕對值不等式的性質得到：0＜L＜1，|φ（2x₁）-φ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|，所以φ（x）∈A；
（2）利用反證法證明：先假設存在x₀，x₀′∈（1，2），x₀≠x₀′，使得x₀=φ（2x₀），x₀′=φ（2x₀′），
則由條件得出與題設矛盾，故結論成立；
（3）先由|x₃-x₂|=|φ（2x₂）-φ（2x₁）|≤L|x₂-x₁|，所以進一步可得|x_n+1-x_n|≤L^n-1|x₂-x₁|，n∈N*，最后利用放縮法得到證明．
點評：本題考查的是抽象函數問題及其應用、反證法等．在解答的過程當中充分體現了反證法的思想、問題轉化的思想以及絕對值不等式性質應用．值得同學們體會和反思．