Question

如圖三棱錐P-ABC中，△PAC，△ABC是等邊三角形．
（Ⅰ）求證：PB⊥AC；
（Ⅱ）若二面角P-AC-B的大小為45°，求PA與平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）取AC的中點D，連接PD，BD，由等邊三角形三線合一，可得AC⊥PD，AC⊥BD，進而由線面垂直的判定定理可得AC⊥平面PBD，進而可得PB⊥AC；
（Ⅱ）由（I）及條件知，二面角P-AC-B的平面角，過點P作PE⊥BD，可得∠PAE為PA與平面ABC所成角，解三角形PAE可得PA與平面ABC所成角的正弦值．

解答：證明：（I）取AC的中點D，連接PD，BD．…（2分）
∵△PAC，△ABC是等邊三角形，
∴AC⊥PD，AC⊥BD，…（4分）
又PD∩BD=D，PD，BD?平面PBD
∴AC⊥平面PBD，
又∵PB?平面PBD，
∴PB⊥AC…（6分）
（II）由（I）及條件知，
二面角P-AC-B的平面角為∠PDB=45°，…（8分）
過點P作PE⊥BD，由（I）知AC⊥面PBD，
∴AC⊥PE，又AC∩BD=D，
∴PE⊥面ABC，…（10分）
∴∠PAE為PA與平面ABC所成角，…（11分）
令AC=2，
則PA=2，PD=

3

，
PE=PD•sin∠PDB=

6

2

，
∴sin∠PAE=

PE

PA

=

6 2

2

6

4

．…（14分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，直線與平面垂直的性質，二面角的平面角，解答（I）的關鍵是熟練掌握空間線線垂直，線面垂直的相互轉化，解答（II）的關鍵是構造出二面角的平面角及線面夾角．