Question

（2012•湖北）如圖，雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的兩頂點為A₁，A₂，虛軸兩端點為B₁，B₂，兩焦點為F₁，F₂．若以A₁A₂為直徑的圓內切于菱形F₁B₁F₂B₂，切點分別為A，B，C，D．則：
（Ⅰ）雙曲線的離心率e=

5 +1

2

；
（Ⅱ）菱形F₁B₁F₂B₂的面積S₁與矩形ABCD的面積S₂的比值

S1

S2

=

5 +2

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直線B₂F₁的方程為bx-cy+bc=0，所以O到直線的距離為

|bc|

b2+c2

，根據以A₁A₂為直徑的圓內切于菱形F₁B₁F₂B₂，可得

|bc|

b2+c2

=a，由此可求雙曲線的離心率；
（Ⅱ）菱形F₁B₁F₂B₂的面積S₁=2bc，求出矩形ABCD的長與寬，從而求出面積S₂=4mn=

4a2bc

b2+c2

，由此可得結論．

解答：解：（Ⅰ）直線B₂F₁的方程為bx-cy+bc=0，所以O到直線的距離為

|bc|

b2+c2

∵以A₁A₂為直徑的圓內切于菱形F₁B₁F₂B₂，
∴

|bc|

b2+c2

=a
∴（c²-a²）c²=（2c²-a²）a²
∴c⁴-3a²c²+a⁴=0
∴e⁴-3e²+1=0
∵e＞1
∴e=

5 +1

2

（Ⅱ）菱形F₁B₁F₂B₂的面積S₁=2bc
設矩形ABCD，BC=2m，BA=2n，∴

m

n

=

c

b

∵m²+n²=a²，∴m=

ac

b2+c2

，n=

ab

b2+c2

∴面積S₂=4mn=

4a2bc

b2+c2

∴

S1

S2

=

b2+c2

2a2

=

b2+c2

2bc

∵bc=a²=c²-b²
∴b=

-1+ 5

2

c
∴

S1

S2

=

5 +2

2

故答案為：

5 +1

2

，

5 +2

2

點評：本題考查圓與圓錐曲線的綜合，考查雙曲線的性質，面積的計算，解題的關鍵是確定幾何量之間的關系．